بحث عن الدوال

يعد علم الرياضيات من العلوم التي تعتمد على التركيز الذهني والعقلي اعتمادا كبيرا، وهو من العلوم الرئيسية والهامة في جامعات دول العالم المختلفة ويقوم على مبدأ الفرضيات والإثباتات الرمزية الجامدة، لذلك يعد في بعض المجالات مقياسا للذكاء،

وقد برع فيه العرب والمسلمون وساهموا في رفده بمفاهيم تستخدم حتى الآن؛ كالعالم الخوارزمي وابن سينا والبيروني وعمر الخيام وغيرهم، وسنقدم في هذا المقال نبذة بسيطة عن الدالة التي تعد مفهوما أساسيا في علم الرياضيات.

تمت صياغة المصطلح “function” باللغة الإنكليزية أو “fonction” باللغة الفرنسية من قبل العالم غوتفريد لايبنتز في عام 1649 لوصف كميات تتعلق بالمنحنيات كالميل عند نقطة معينة من المنحني. وقد تم استخدام هذا المصطلح بعدها من قبل عالم الرياضيات ليونهارد أويلر في منتصف القرن الثامن عشر لوصف التعابير والصيغ الرياضية التي تتضمن عدة وسائط رياضية،

أنضر أيضا:اصعب سؤال في الرياضيات؟

تعرّف الدالة أو الاقتران في الرياضيات بأنها علاقة تربط عددا من العناصر في مجموعة ما، بعدد من العناصر في مجموعة أخرى، إذ تسمى عناصر المجموعة الأولى بالمجال، في حين تسمى قيمتها من المجموعة الثانية بالمدى، وهذه العلاقة قد تكون علاقة “واحد لواحد” أي أن كل عنصر في المجال له قيمة واحدة في المدى، أو قد تكون غير ذلك بأن يكون له أكثر من قيمة.

وتجدر الإشارة أيضا إلى أن كلمة دالة تستخدم كثيرا في عالم البرمجة لوصف العلاقة أو القاعدة أو “الكود” الذي يتعامل معه المبرمج، وهو في الأصل لفظ رياضي ويشير لعلاقة رياضية، لكنه يستخدم للاختصار؛ فرمز الدالة المستخدم عمليا يختصر أسطرا من البرنامج المدخل للتنفيذ، وللدوال أنواع مختلفة، وكلها لها طريقة كتابة وتمثيل بياني تختلف عن الأخرى.

انواع الدوال المتغيرة 

الدالة الثابتة  :

التابع الثابت بالإنجليزية : constant function في الرياضيات هوتابع رياضي لا تتغير قيمته مهما كانت قيمة وسيط الدخل. مثلاً:
التابع f(x) = أربعة هوتابع ثابت لأن قيمة f تكون أربعة من أجل أي قيمة لـ x.
خصائصه : مشتق التابع الثابت دائماً يساوي الصفر (لأن المشتق هومن حيث المبدأ يعبرعن تغير قيمة التابع، وباعتبار ان التابع الثابت لا يغير قيمته فيكون مشتقه (تغيره) معدوما (.
يمثل التابع الثابت في نظام الإحداثيات الديكارتية بخط مستقيم يوازي محور السينات ويبتر محور العينات عند القيمة الثابتة للتابع.

أنضر أيضا:تحويل الأرقام إلى الرومانية

الدالة المركبة : في الرياضيات, تركيب دالتين
بالإنجليزية: Function composition هو إخضاع نتيجة الدالة الأولى للدالة الثانية. أي أنه بالنسبة للدالتين f: X → Y و g: Y → Z, فإن تركيبهما هو حساب قيمة g ليس عندما يكون مدخلها هو x، بل عندما يكون مدخلها هو. f(x)ويعد موضوع تركيب الدوال مدخلا هاما في دراسة حساب التغيرات.
خصائصها : تركيب الدوال عادة ما يكون تجميعيا.

الدالة التحليلية : هي الدالة التي تكون ذات قيم عقدية متعددة الحدود و تتخذ الشكل التام و يمكن التعبير عنها محليا من خلال متسلسلة من القوى المتقاربة  و تتعدد أشكال الدالة التحليلية حيث أن من أشكالها الدوال المثلثية الشكل و الدوال اللوغاريتمية و كذالك دوال الرفع و المتعددة.
خصائصها : كل دالة تحليلة هي دالة ناعمة، أي أنها قابلة للاشتقاق عددا غير منته من المرات و مقلوب دالة تحليلية لا يساوي الصفر في أن نقطة.

الدالة الضمنية : هي دالة رياضية متعددة المتغيرات و يكون لها اقتران تضامني ، و عادة ما تكون الدالة الضمنية متعددة الحدود ، واذا ظهر المتغير الذي يكون تابع لإحدى الدوال في أحد طرفي  المعادلة الرياضية مع وجود المتغير المستقل في الطرف الآخر من المعادلة فإن الدالة في هذه الحالة تكون دالة صريحة. و أول شكل للدالة الضمنية يتم نسبته للعالم أوغستين لوي كوشي .

أنضر أيضا:طريقة حساب الأرقام الرومانية

الدالة الزوجية : هي الدالة التي لا تتغير قيمتها بتغير اشارة المتغير تقترن بشكل زوجي.
خصائصها : تركيب دالتين زوجيتين معا يعطي دالة زوجية كما ان تركيب دالة زوجية مع دالة اخرى فردية يعطي دالة زوجية.

اذا قمنا بجمع أو طرح دالتين زوجيتين فإن الناتج يكون دالة زوجية و جمع دالة فردية مع دالة زوجية يعطي دالة لا هى فردية و لا زوجية.

الدالة العكسية : الدالة التي يكون فيها عناصر المجال هي المعكوس لعناصر المجال المقابل و من أهم خواص ومميزات الدالة العكسية على الإطلاق هي الوحدة حيث أنه إذا كان لدينا دالة عكسية فإن هذه الدالة العكسية وحيدة و ذلك لأنه لا يوجد لدالة ما أكثر من دالة عكسية.

الدالة المتطابقة أو الدالة المحايدة بالإنجليزية: Identity function أو (الأقتران المحايد أو المطابق)، هي دالة يرتبط فيها كل عنصر بنفسه، أو يكون المجال والمجال المقابل هما نفس المجموعة.

أنضر أيضا:الأرقام الرومانية وما يقابلها بالعربية

الدالة الشاملة : تسمى أيضا التطبيق الشامل أيضا اقترانا شاملا ( تطبيقا شاملا) فالدالة الشاملة هي التي يصل إلى كل عنصر في المجال المقابل سهم واحد على الأقل.

الدالة الصريحة : يكون الاقتران بالدالة صريح أي انه ظهر المتغير الذي يتبع الدالة في أحد طرفي المعادلة و كان المتغير المستقل في الطرف الآخر.

الدالة المستمرة: هذه الدالة التي يحدث بها تغير بسيط حيث يصبح شكلها رياضي أكثر.
الدالة المتناقضة : يكون بهذه الدالة اقتران متناقض.

الدالة الاسية : تكون القيم بها متساوية ولكن لا تساوي الصفر.
الدالة التزايدية : هي دالة رياضية تكون أشكالها في صورة الدالة التكعيبية والدالة التربيعية.
الدالة الفردية : تلك الدالة لها شرط يتعلق بالتماثل كما أن اقترانها يكون فردي.

أنواع الدوال المتغيرة

يوجد العديد من الانواع الخاصة بدوال التغير والتي تختلف وفق عدد المتغيرات يمكن تقسيمها وفق عدد المتغيرات والتي توجد في المجال. يوجد هناك داله لها متغير وحيد وداله تمتلك ثلاث متغيرات وكل متغير منها يكون مستقل بذاته.

سميت بدوال التغيير لأنها تتخدد عدة اشكال حسب المتغير، فاذا كانت دالة في مجالها متغير واحد سميت بدالة المتغير الواحد واذا كان اثنان سميت دالة ذات متغيرين …الخ.

أنضر أيضا:بعض العلماء الاجلاء واذكر بعض مؤلفاتهم

و من أبرز الخصائص التي تنطوي عنها نجد مايلي:

• لكل تابع من مجموعة النطاق أو المنطلق في الأغلب تسمى ×.
• لكل تابع من مجموعة النطاق المرافق أو المستقر في الأغلب تسمى γ.
• يمكن لعنصر من مجموعة المستقر γ الارتباط بعنصر واحد أو أكثر من مجموعة المنطلق ×.
• لا يمكن لعنصر من مجموعة المنطلق × الارتباط سوى بعنصر واحد من مجموعة المستقر γ.

وتنقسم الدوال المتغيرة الى اربعة أقسام وهي:

التمثيل البياني: تمثيل الشكل البياني للدالة بعد وضع العناصر الخاصة بالمنطلق والمستقر ثم القيام بربط النقاط. وهي من اسهل الطرق التي تسهل عليك تمثيل الدالة وذلك من خلال الرسم البياني للعناصر في المجال والمجال المقابل. حيث يتم في الرسم البياني رسم محورين رئيسيين وهما محور السينات ومحور الصادات. ويكون فيهما كل عنصر بالصورة الخاصة به له نقطة واحده ويتم التوصيل بين النقاط من علي محور السينات الي محور الصادات. بعدها يتبين لها في الرسم البياني الشكل الواضح للدالة المتغيرة ويسمي التمثيل البياني للدوال المتغيرة.

• التمثيل الجبري
• التمثيل باستخدام القائمة.
• التمثيل بالكلام.

و توجد ثلاتة تغيرات للدوال يمكن وصفها كالاتي :

تغيرات عكسية : هي علاقة بين كميتين إذا ازدادت الاولى نقصت الثانية و إذا ازادت الثانية نقصت الاولى و تكون العلاقة العكسية تناسب عكسي إذا كان س×ص=ك مقدار ثابت
تغير طردي : يرمز للعلاقة الطردية بشكل بسيط بالمعادلة y=ax بحيث y، x هما المتغيران، و a عدد حقيقي موجب يعبر عن العلاقة الطردية النسبية بين المتحولين. مثلاً a=2 يزداد المقدار y بضعف زيادة المقدار x.
تغير مركب : و هو نتيجة دمج المتغير الطردي مع العكسي .

تقسيم الدوال المتغير وفق الشكل الرياضي

بما الدوال تختلف في تقسيمها وفق عدد المتغيرات بداخلها حيث يوجد داله بها متغير واحد وداله أخري لها ثلاث متغيرات. يوجد ايضا دوال تختلف في تقسيمها وفق اختلاف شكلها الرياضي من داله متغيرة الي داله أخري. فهناك الدالة الثابة و الدالة متعددة الحدود.